• 前言
• 题目大意
• 思路
• 代码
• 总结

前言

高斯消元是一个用来求类似 $k$ 元一次方程组的算法。

题目大意

给定一个线性方程组，对其求解

思路

首先让我们把这个方程组抽象一下，边成一个矩阵。

$A= \begin{bmatrix} x_1 &x_2 & \cdots & a \\ x_1 & x_2 & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1& x_2 & \cdots &a \end{bmatrix}$

每一行代表一个方程，每一行的 $x$ 为系数，$a$ 为答案。之后考虑怎么消元。我们一般可以使用加减消元和代入消元，这里首先使用加减消元。每一次我们消掉一行。

这里用消掉第一行做例子。首先把选择的系数化为 $1$，这样其他的行消掉就变成减掉 $m[j][1]*m[1][k]$，$j$ 是其他行，$k$是从 $1$ 开始一直到 $n$。

每一次只留一个，最后就变成了一个阶梯型的矩阵。那么一定有一个一直被消只剩下一个元素的。也就是 $x=a$，之后用这个元素每一次往上带即可。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MAXN=105;
const double eps=1e-8;
double m[MAXN][MAXN],ans[MAXN];
ll n;
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        for (int j = 1; j <=n+1 ; ++j) {
            scanf("%lf",&m[i][j]);
        }    
    }
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        ll r=i;
        for (int j = i+1; j <=n ; ++j) {
            if(abs(m[r][i])< abs(m[j][i])){
                r=j;//找到一个最大的元素
            }
        }
        if(abs(m[r][i])<eps){
            printf("No Solution\n");//类似于<0，也就是全部都是0了，这不可能，因为最后肯定是阶梯，所以就无解。
            return 0;
        }
        swap(m[i],m[r]);//为了让矩阵变成阶梯型。
        double t1=m[i][i];//先消成1，也就是把第i行所有元素都除以m[i][i]
        for (int j = 1; j <=n+1 ; ++j) {
            m[i][j]/=t1;
        }
        for (int j = i+1; j <=n ; ++j) {
            t1=m[j][i];
            for (int k = i; k <=n+1 ; ++k) {
                m[j][k]-=t1*m[i][k];//上面说了
            }
        }
    }
    ans[n]=m[n][n+1];//最后剩的
    for (ll i = n-1; i >=1 ; --i) {
        ans[i]=m[i][n+1];//先设成原有的答案，之后要减。
        for (ll j = i+1; j <=n ; ++j) {
            ans[i]-=(ans[j]*m[i][j]);//之前的系数和结果都算过了。
        }
    }
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        printf("%0.2lf\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}

总结

高斯消元是一个时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$ 的算法，主要用来求方程组，通过先一个一个消元变成阶梯矩阵在通过回带的方法求出未知数。