• 前言
• 题目大意
• [NOIP2000 提高组] 方格取数
  • 题目描述
• 思路
• 代码
• 总结

前言

嗯呐，一眼线性dp模版。二眼，QWQ不是模版。

题目大意

[NOIP2000 提高组] 方格取数

题目描述

设有 $N \times N$ 的方格图 $(N \le 9)$，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 $0$。
从图的左上角的 $A$ 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 $B$ 点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 $0$）。
从 $A$ 点到 $B$ 点共走两次，试找出 $2$ 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。求和

思路

如果没有两个路径的话就是模版。但是有的话就很不好办了。看起来好像是有后效性的。那么，让我们设想一下，如果两个路径可以同时走的话是不是好办了，如果碰到了一样的就可以争抢，看哪个更好，但是本题都不用。这就是多路线dp（瞎起的名）的基本思路。

我们设一个dp数组 $dp[i][j][k][l]$，前面的两个代表第一个路线的 $i,j$，后面的是第二条路线的 $i,j$。那么之后的就很好办了。

枚举四个变量。每一次是走法。问题来了，一共几个走法呢。说 $2^4$ 的要记得同时 这两个字，两条路线只有同时走才可以“争抢”，否则我一个往前面多走了一步另外的路线肯定不愿意嘛。所以还是 $2^2=4$ 个上一步。

$dp[i][j][k][l]= max({dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]})+a[i][j]+a[k][l]$

也就是下面四种：

• 1.上，2.上
• 1.上，2.左
• 1.左，2.上
• 1.左 2.左

这里说的都是上一步。

但是上面这个差一点，是错的。注意，两条路线要“争抢”，如果 $i==k\&\&j==l$，也就是说两条路线走到了一起，那么还要减一个 $a[k][l]$ 或 $a[i][j]$，俩一样吗。因为不能拿两次。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MAXN=10;
ll dp[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN],a[MAXN][MAXN],n;
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    ll x=-1,y=-1,v=-1;
    while (x!=0||y!=0||v!=0){
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&v);
        a[x][y]=v;
    }
    for (int i = 1; i <=n ; ++i) {
        for (int j = 1; j <=n ; ++j) {
            for (int k = 1; k <=n ; ++k) {
                for (int l = 1; l <=n ; ++l) {
                    dp[i][j][k][l]= max({dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]})+a[i][j]+a[k][l];
                    if(i==k&&j==l){
                        dp[i][j][k][l]-=a[k][l];
                    }
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld",dp[n][n][n][n]);
    return 0;
}

总结

介绍了多路线dp，主要的思路是同时 走，和“争抢”。